COMPETENCIA 9
SUBCOMPETENCIA 3
Técnica de estadística de distribución de probabilidades
Definición
de variable aleatoria: Corresponde al valor resultante de un determinado
experimento.
Por
ejemplo, si contamos el número de empleados ausentes en un determinado turno de
trabajo, el resultado podría ser 0, 1, 2, ...., este número de ausencias es la
variable aleatoria.
Distinguiremos entre variables aleatorias
discretas y continuas. Diremos que una variable aleatoria es discreta cuando
sólo puede tomar un número contable de valores. Estos valores no necesariamente
han de ser enteros, pero sí han de tener valores claramente definidos.
Serían
v.a. discretas, p.e., X1 = “nº de hermanos de cada uno de nuestros amigos”, o
X2 = “nota, con una cifra decimal, obtenida en un examen por cada alumno de un
aula”.
Por
el contrario, una v.a. continua es aquella que puede tomar cualquier valor
dentro de un intervalo real. Serían v.a. continuas, p.e., X3 = “altura, en cm.,
de los jugadores de un equipo de baloncesto” (1.9, 1.92, 1.923,...), o X4 =
“distancia entre dos ciudades”.
Definición de distribución de probabilidad: Es
aquella que permite calcular todos los resultados probables de ocurrir de un
experimento determinado, así como la probabilidad de ocurrencias de estos
resultados. Las características más importantes a tener en cuenta en una
distribución de probabilidad son: - La probabilidad de un resultado específico
está entre cero y uno. La suma de las probabilidades de todos los resultados
mutuamente excluyentes es 1.
‰ Definición de función de distribución
de probabilidad: La función de probabilidad de una variable aleatoria es la
probabilidad acumulada hasta un valor determinado de la variable.
Dada
una variable aleatoria X, diremos que F(a) es la función de distribución tal
que: F(a) = P(X≤a)
La
función de distribución de probabilidad cumple 0 ≤ F(x) ≤ 1. En el caso de las
variables discretas la función de probabilidad se asocia con la función de
probabilidad, función que da la probabilidad de cada posible valor que toma la
variable.
En el caso de las continuas como estas pueden
tomar infinitos valores en un intervalo su función de probabilidad viene
definida como la probabilidad a intervalos de valores. De hecho, la
probabilidad de que la variable tome un determinado valor es nula. Las
variables aleatorias continuas se caracterizan por una función denominada
función de densidad.
Definición
de función de probabilidad para una variable aleatoria discreta: Dada una
variable aleatoria discreta X, diremos que f(xi ) es la función de probabilidad
que asocia a cada valor xi de la variable su probabilidad, i.e., f(xi) =
P(X=xi).
Definición
de función de densidad para una variable aleatoria continua: Dada una variable
aleatoria continua X la función de densidad f(x) asociada a una variable
aleatoria continua X caracteriza la función de distribución de probabilidad de
X donde: ∫ −∞ = ≤ = a F(a) P(X a) f (x) dx ‰
La
media, la varianza y la desviación estándar.
Como
sabemos, la media nos da información acerca de la tendencia central de los
datos y la varianza describe la dispersión de éstos.
A la
media de la distribución la denotaremos por µ , y a la desviación estándar por
σ. La media es el valor promedio ponderado en el que los valores posibles de la
variable aleatoria se ponderan según las probabilidades correspondientes de
ocurrencia, también se denomina valor esperado E(X).
Para
una variable aleatoria discreta:
µ =
E(X ) = ∑[ ] xP(x) donde P(x) es la probabilidad de valores posibles de la
variable aleatoria x.
Es
decir, se multiplica cada valor de x por la probabilidad de que ocurra, y luego
se suman estos productos. Para una variable aleatoria continua:
[ ]
∫ +∞ −∞ µ = E X = x f (x) dx La varianza describirá la dispersión de la
distribución.
Para
una variable aleatoria discreta: = ∑[( − ) ( )] 2 2 σ x µ P x
Para
una variable aleatoria continua: ∫ +∞ −∞ = x f (x) dx 2 2 σ Óbviamente, la
desviación estándar σ la calcularemos al extraer la raíz cuadrada de la
varianza. ‰
La
distribución Binomial. Consideremos una variable aleatoria X que da el número
de éxitos que aparecen al repetir n veces de forma independiente un experimento
en idénticas condiciones.
En
esta situación diremos que X sigue una distribución Binomial. Ejemplos: X=
número de huevos defectuosos en un paquete de 12. Y= número de 2 al tirar 10
veces un dado.
Las
características principales de este modelo de distribución son: 1. Repetir n
pruebas independientes unas de otras.
Para
cada una de las pruebas sólo pueden darse dos resultados: éxito o fracaso 3. La
probabilidad de éxito en cada prueba es de p.
En tales condiciones, diremos que la v.a. X =
“nº de éxitos en las n pruebas” sigue una distribución Binomial de parámetros n
y p, y lo escribiremos como X ∼
B(n,p) .
Observamos
que la v.a. X sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, … , n siendo por tanto
una v.a. discreta.
La
distribución de Bernoulli es un caso particular de la binomial cuando n=1 .
La
distribución de Poisson Consideremos X una variable que da el número de
individuos que presentan una cierta característica por unidad de tiempo,
volumen, superficie,… Entonces diremos que X sigue una distribución de Poisson.
Ejemplos:
X= Número de coches que cruzan un cruce en una hora.
Y=
Número de enfermos de Sida por año y por Comunidad Autónoma. La función de
probabilidad de la distribución de Poisson es: ! ( ) x e P x x λ λ − = para
x=0,1,2,3,…. donde λ es el número medio de ocurrencias durante un intervalo
específico de tiempo, superficie, .. e es la constante exponencial y x es el
número de ocurrencias (éxitos).
Observamos
de la expresión de la función de probabilidad que el parámetro λ caracteriza
las variables con distribución de Poisson.
Otra
característica de la Poisson es que su media es igual a su varianza y ambas son
igual al parámetro λ: µ = λ , σ = λ Observamos además que una variable con
distribución Poisson toma infinitos valores, 0,1,…
Ahora bien, las probabilidades van
disminuyendo cada vez más rápidamente cuando el valor es alto, haciéndose
prácticamente nulas a partir de un valor. Por esto muchas veces la distribución
de Poisson también se la llama distribución de los sucesos “raros” o poco
probables.
La
distribución normal es la distribución de probabilidad continua más importante.
Multitud de variables aleatorias continuas siguen una distribución normal o
aproximadamente normal. Una de sus características más importantes es que
cualquier distribución de probabilidad, tanto discreta como continua, se puede
aproximar por una normal bajo ciertas condiciones.
La
distribución de probabilidad normal y la curva normal que la representa, tienen
las siguientes características:
La
curva normal tiene forma de campana y un solo pico en el centro de la
distribución. De esta manera, la media aritmética, la mediana y la moda de la
distribución son iguales y se localizan en el pico. Así, la mitad del área bajo
la curva se encuentra a la derecha de este punto central y la otra mitad está a
la izquierda de dicho punto.
La
distribución de probabilidad normal es simétrica alrededor de su media.
La curva normal desciende suavemente en ambas
direcciones a partir del valor central. Es asintótica, lo que quiere decir que
la curva se acerca cada vez más al eje X pero jamás llega a tocarlo. Es decir,
las “colas” de la curva se extienden de manera indefinida en ambas direcciones.
Para indicar que una variable aleatoria (v.a.) sigue una distribución normal de
media µ y desviación estándar σ usaremos la expresión: X ∼ N(µ,σ). La curva
La
distribución normal estándar: Se observó que no existe una sola distribución de
probabilidad normal, sino una “familia” de ellas. Como sabemos, cada una de las
distribuciones puede tener una media (µ) o una desviación estándar distinta
(σ).
Por
tanto, el número de distribuciones normales es ilimitado y sería imposible
proporcionar una tabla de probabilidades para cada combinación de µ yσ. Para
resolver este problema, se utiliza un solo “miembro” de la familia de
distribuciones normales, aquella cuya media es 0 y desviación estándar 1 que es
la que se conoce como distribución estándar normal, de forma que todas las
distribuciones normales pueden convertirse a la estándar, restando la media de
cada observación y dividiendo por la desviación estándar. Primero,
convertiremos la distribución real en una distribución normal estándar
utilizando un valor llamado Z, o estadístico Z que será la distancia entre un
valor seleccionado, designado X, y la media µ, dividida por la desviación estándar
σ. Formalmente, si X ∼
N(µ,σ) , entonces la v.a. σ − µ = X Z se distribuye según una normal de media 0
y desviación estándar 1, i.e.: Z ∼
N(0,1) , que es la distribución llamada normal estándar o tipificada. De esta
manera, un valor Z mide la distancia entre un valor especificado de X y la
media aritmética, en las unidades de la desviación estándar.
CONCLUSIONES
En la
investigación que realice de las Técnicas de estadística de Distribución de
probabilidades y comparando con los datos que obtuve del proyecto, puedo
concluir que técnica que aplicaría de distribución es “ Distribución Normal”, ya que los resultados
de las variables son continuas que con más frecuencia aparece aproximada en
fenómenos reales.
Y la
gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto
de una determinad o parámetro. Esta curva se conoce como campana de Gauss y es
el gráfico de la función de Gaussiana.
Bibliografía
Modelos
de Probabilidades. Ángel Juan, Máximo Sedano, Alicia Vila, José Francisco
Martínez, Anna López.
